正方体的拼拼拆拆
正方体的拼拼拆拆
用455个棱长为1的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则余下371个小正方体。
(1)所粘成的大长方体的一组棱长是多少?
(2)拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积是多少?
分析与解
(1)设长方体的一组棱长(即长、宽、高)分别为x、y、z，长方体的体积=长×宽×高，且粘成的长方体的体积是455，因此，我们可以得出x×y×z=455。把455分解质因数，可得455=5×7×13，即x×y×z=5×7×13。
由于大长方体是由边长为1的小正方体拼成的，所以x、y、z均为整数。因此，我们可以得出长方体的一组棱长有下面几种组合：
13、5、7
35、13、1
65、7、1
91、5、1
455、1、1
那棱长具体是多少呢?我们具体来分析一下。沿棱拆下的正方体有455-371=84个。如果从长方体的x边上拆下的小正方体个数为x个，那么从y边上拆下的小正方体个数为y-2个，从z边上拆下的小正方体个数为z-2个，这应该有下面的关系式：
4x+4(y-2)+4(z-2)=84
整理可得x+y+z=25。
经过验证只有13、5、7的和是25，因此，长方体的一组棱长就是13、5、7。
(2)我们虽然求出了长方体的一组棱长，但是我们并不知道哪个是长，哪个是宽，哪个是高，我们该怎么求表面积呢?
不过，不管长、宽、高是多少，都会有两个长13、宽5的面，两个长13、宽7的面，两个长7、宽5的面。
从题目给出的示意中我们可以知道，拆下沿棱的小正方体后，每个面只有四个角上的小正方体拆通了，而其他部分没有拆通，只是陷到后面去了。
我们看到的长13、宽7的面，面积是13×7-4=87。
我们看到的长13、宽5的面，面积是13×5-4=61。
我们看到的长7、宽5的面，面积是7×5-4=31。
因此，表面积就是87×2+61×2+31×2=358。
宋利爽/编辑 摘自《天天爱学习》(5年级数学)2023.3
